Решение

1. Семиклассник-репетитор готов был решать задачу "с иксом и игреком", будучи уверен, что задача - "собственно говоря, алгебраическая". И он бы легко справился бы с ней, прибегнув к помощи системы уравнений.

Пусть х -число аршин синего сукна, а у - число аршин черного сукна, Тогда

х+у =138  - первое уравнение.

За синее сукно уплатили  5х рублей, а за черное - 3у рублей.

5х+3у =540 - второе уравнение.

Решив систему, получим, что х=63 аршин, а у=138-63=75 аршин.

2. Решение арифметическим способом. Начать надо с предположения, что все купленное сукно было синее,  тогда за всю партию в 138 аршин синего сукна пришлось бы уплатить 5•138=690 рублей,

а это на (690 - 540)  150 рублей больше того, что было заплачено в действительности.

Разница в 150 рублей указывает, что в партии имелось и более дешевое, черное сукно по 3 рубля аршин.

Дешевого сукна было столько, что из двухрублевой разницы на каждом аршине составилось 150 рублей: очевидно, число аршин черного сукна определится, если разделить 150 на 2.

Получаем ответ - 75; вычтем эти 75 аршин из общего числа 138 аршин, узнаем, сколько было синего сукна: 138 - 75=63. Так и должен был решать задачу Петя.

3. Как решил задачу Удодов-старший?

В рассказе говорится об этом очень кратко: "он щелкает на счетах, и у него получается 75 н 63, что и нужно было".

В чем же, однако, состояло это "щелканье на счетах"? Каков способ решения задачи с помощью счетов?

Разгадка такова: злополучная задача решается на счетах тем же приемом, что и на бумаге, - теми же арифметическими действиями. Но выполнение их значительно упрощается, благодаря преимуществам, которые наши русские счеты предоставляют всякому, умеющему с ними обращаться.

Очевидно, "отставной губернский секретарь" Удодов хорошо умел считать на счетах, потому что их косточки быстро, без помощи алгебры, открыли ему то, чего репетитор-семиклассник добивался узнать "с иксом и игреком". Проследим же, какие действия должен был проделать на счетах Петин отец.

Прежде всего ему нужно было, как мы знаем, умножить 138 на 5. Для этого он, по правилам действий на счетах, умножил сначала 138 на 10, - т. е. просто перенес 138 одной проволокой выше, - а затем разделил это число пополам, опять-таки на счетах же. Деление начинают снизу: откидывают половину косточек, отложенных на каждой проволоке; если число косточек на данной проволоке нечетное, то выходят из затруднения, "раздробляя" одну косточку этой проволоки на 10 нижних.

В нашем случае делят 1.380 пополам так: на нижней проволоке, где отложено 8 косточек, откидывают 4 косточки (4 десятка), на средней проволоке из 3 косточек откидывают 1, а оставшуюся 1 косточку заменяют мысленно 10-ю нижними и делят пополам, добавляя 5 десятков к косточкам нижней; на верхней проволоке раздробляют одну косточку, прибавляя 5 сотен к косточкам средней проволоки. В результате на верхней проволоке совсем не остается косточек; на средней 1+5=6 сотен, на нижней 4+5=9 десятков.

Итого, 690 единиц. Выполняется все это быстро, автоматически.

Далее Удодову-старшему нужно было из 690 вычесть 540. Как проделывается это на счетах - всем известно.

Наконец, полученную разность, 150, оставалось разделить пополам: Удодов откинул из 5 косточек (десятков) 2, отдав 5 единиц нижнему ряду косточек; потом из 1 косточки на проволоке сотен отдал 5 десятков нижнему ряду: получилось 7 десятков н 5 единиц, т- е. 75.

Все эти простые действия выполняются на счетах, конечно, гораздо скорее, чем тут описано.

Предлагаю прочитать из моего Дневника:

А П Чехов. Задачи сумасшедшего математика